यदि वक्रों y = x^2,y = frac{1}{x} और रेखाओं y | vedclass

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Question

(B) वक्रों $y = x^2$ और $y = \frac{1}{x}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $x^2 = \frac{1}{x}$ रखने पर,जिससे $x^3 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $x =

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$e^{2/3}$

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(B) वक्रों $y = x^2$ और $y = \frac{1}{x}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $x^2 = \frac{1}{x}$ रखने पर,जिससे $x^3 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $x = 1$। इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।वक्रों $y = x^2$,$y = \frac{1}{x}$,$x$-अक्ष $(y = 0)$ और रेखा $x = t$ $(t > 1)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल दो समाकलों के योग द्वारा दिया जाता है:$	ext{Area} = \int_0^1 x^2 \, dx + \int_1^t \frac{1}{x} \, dx$समाकलनों का मूल्यांकन करने पर:$	ext{Area} = \left[ \frac{x^3}{3} ight]_0^1 + \left[ \ln(x) ight]_1^t$$	ext{Area} = \left( \frac{1}{3} - 0 ight) + (\ln(t) - \ln(1))$चूंकि $\ln(1) = 0$,इसलिए:$	ext{Area} = \frac{1}{3} + \ln(t)$यह दिया गया है कि क्षेत्रफल $1 \, 	ext{sq. unit}$ है:$\frac{1}{3} + \ln(t) = 1$$\ln(t) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:$t = e^{2/3}$

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

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